Analyse de la réponse en fréquence

Nous avons déjà discuté de l'analyse de la réponse temporelle des systèmes de contrôle et des spécifications du domaine temporel des systèmes de contrôle du second ordre. Dans ce chapitre, discutons de l'analyse de la réponse en fréquence des systèmes de commande et des spécifications du domaine fréquentiel des systèmes de commande du second ordre.

Qu'est-ce que la réponse en fréquence?

La réponse d'un système peut être partitionnée à la fois en réponse transitoire et en réponse en régime permanent. Nous pouvons trouver la réponse transitoire en utilisant des intégrales de Fourier. La réponse en régime permanent d'un système pour un signal sinusoïdal d'entrée est connue sous le nom defrequency response. Dans ce chapitre, nous nous concentrerons uniquement sur la réponse en régime permanent.

Si un signal sinusoïdal est appliqué en tant qu'entrée à un système linéaire invariant dans le temps (LTI), il produit alors la sortie en régime permanent, qui est également un signal sinusoïdal. Les signaux sinusoïdaux d'entrée et de sortie ont la même fréquence, mais des amplitudes et des angles de phase différents.

Soit le signal d'entrée -

$$ r (t) = A \ sin (\ omega_0t) $$

La fonction de transfert en boucle ouverte sera -

$$ G (s) = G (j \ omega) $$

Nous pouvons représenter $ G (j \ omega) $ en termes de magnitude et de phase comme indiqué ci-dessous.

$$ G (j \ omega) = | G (j \ omega) | \ angle G (j \ omega) $$

Remplacez, $ \ omega = \ omega_0 $ dans l'équation ci-dessus.

$$ G (j \ omega_0) = | G (j \ omega_0) | \ angle G (j \ omega_0) $$

Le signal de sortie est

$$ c (t) = A | G (j \ omega_0) | \ sin (\ omega_0t + \ angle G (j \ omega_0)) $$

• le amplitude du signal sinusoïdal de sortie est obtenu en multipliant l'amplitude du signal sinusoïdal d'entrée et la grandeur de $ G (j \ omega) $ à $ \ omega = \ omega_0 $.

• le phase du signal sinusoïdal de sortie est obtenu en additionnant la phase du signal sinusoïdal d'entrée et la phase de $ G (j \ omega) $ en $ \ omega = \ omega_0 $.

Où,

• A est l'amplitude du signal sinusoïdal d'entrée.

• ω₀ est la fréquence angulaire du signal sinusoïdal d'entrée.

Nous pouvons écrire la fréquence angulaire $ \ omega_0 $ comme indiqué ci-dessous.

$$ \ omega_0 = 2 \ pi f_0 $$

Ici, $ f_0 $ est la fréquence du signal sinusoïdal d'entrée. De même, vous pouvez suivre la même procédure pour le système de contrôle en boucle fermée.

Spécifications du domaine de fréquence

Les spécifications du domaine fréquentiel sont resonant peak, resonant frequency and bandwidth.

Considérez la fonction de transfert du système de contrôle en boucle fermée du second ordre comme,

$$ T (s) = \ frac {C (s)} {R (s)} = \ frac {\ omega_n ^ 2} {s ^ 2 + 2 \ delta \ omega_ns + \ omega_n ^ 2} $$

Remplacez, $ s = j \ omega $ dans l'équation ci-dessus.

$$ T (j \ omega) = \ frac {\ omega_n ^ 2} {(j \ omega) ^ 2 + 2 \ delta \ omega_n (j \ omega) + \ omega_n ^ 2} $$

$$ \ Rightarrow T (j \ omega) = \ frac {\ omega_n ^ 2} {- \ omega ^ 2 + 2j \ delta \ omega \ omega_n + \ omega_n ^ 2} = \ frac {\ omega_n ^ 2} {\ omega_n ^ 2 \ gauche (1- \ frac {\ omega ^ 2} {\ omega_n ^ 2} + \ frac {2j \ delta \ omega} {\ omega_n} \ right)} $$

$$ \ Rightarrow T (j \ omega) = \ frac {1} {\ left (1- \ frac {\ omega ^ 2} {\ omega_n ^ 2} \ right) + j \ left (\ frac {2 \ delta \ omega} {\ omega_n} \ right)} $$

Soit, $ \ frac {\ omega} {\ omega_n} = u $ Remplacez cette valeur dans l'équation ci-dessus.

$$ T (j \ omega) = \ frac {1} {(1-u ^ 2) + j (2 \ delta u)} $$

La magnitude de $ T (j \ omega) $ est -

$$ M = | T (j \ omega) | = \ frac {1} {\ sqrt {(1-u ^ 2) ^ 2 + (2 \ delta u) ^ 2}} $$

La phase de $ T (j \ omega) $ est -

$$ \ angle T (j \ omega) = - tan ^ {- 1} \ left (\ frac {2 \ delta u} {1-u ^ 2} \ right) $$

Fréquence de résonance

C'est la fréquence à laquelle l'amplitude de la réponse en fréquence a une valeur de crête pour la première fois. Il est noté $ \ omega_r $. À $ \ omega = \ omega_r $, la première dérivée de la grandeur de $ T (j \ omega) $ est zéro.

Différenciez $ M $ par rapport à $ u $.

$$ \ frac {\ text {d} M} {\ text {d} u} = - \ frac {1} {2} \ left [(1-u ^ 2) ^ 2 + (2 \ delta u) ^ 2 \ right] ^ {\ frac {-3} {2}} \ left [2 (1-u ^ 2) (- 2u) +2 (2 \ delta u) (2 \ delta) \ right] $$

$$ \ Rightarrow \ frac {\ text {d} M} {\ text {d} u} = - \ frac {1} {2} \ left [(1-u ^ 2) ^ 2 + (2 \ delta u ) ^ 2 \ right] ^ {\ frac {-3} {2}} \ left [4u (u ^ 2-1 +2 \ delta ^ 2) \ right] $$

Remplacez, $ u = u_r $ et $ \ frac {\ text {d} M} {\ text {d} u} == 0 $ dans l'équation ci-dessus.

$$ 0 = - \ frac {1} {2} \ gauche [(1-u_r ^ 2) ^ 2 + (2 \ delta u_r) ^ 2 \ right] ^ {- \ frac {3} {2}} \ gauche [4u_r (u_r ^ 2-1 +2 \ delta ^ 2) \ right] $$

$$ \ Rightarrow 4u_r (u_r ^ 2-1 +2 \ delta ^ 2) = 0 $$

$$ \ Flèche droite u_r ^ 2-1 + 2 \ delta ^ 2 = 0 $$

$$ \ Flèche droite u_r ^ 2 = 1-2 \ delta ^ 2 $$

$$ \ Rightarrow u_r = \ sqrt {1-2 \ delta ^ 2} $$

Remplacez, $ u_r = \ frac {\ omega_r} {\ omega_n} $ dans l'équation ci-dessus.

$$ \ frac {\ omega_r} {\ omega_n} = \ sqrt {1-2 \ delta ^ 2} $$

$$ \ Rightarrow \ omega_r = \ omega_n \ sqrt {1-2 \ delta ^ 2} $$

Pic résonnant

C'est la valeur maximale (maximale) de la magnitude de $ T (j \ omega) $. Il est noté $ M_r $.

À $ u = u_r $, la magnitude de $ T (j \ omega) $ est -

$$ M_r = \ frac {1} {\ sqrt {(1-u_r ^ 2) ^ 2 + (2 \ delta u_r) ^ 2}} $$

Remplacez, $ u_r = \ sqrt {1 - 2 \ delta ^ 2} $ et $ 1 - u_r ^ 2 = 2 \ delta ^ 2 $ dans l'équation ci-dessus.

$$ M_r = \ frac {1} {\ sqrt {(2 \ delta ^ 2) ^ 2 + (2 \ delta \ sqrt {1-2 \ delta ^ 2}) ^ 2}} $$

$$ \ Rightarrow M_r = \ frac {1} {2 \ delta \ sqrt {1- \ delta ^ 2}} $$

Le pic de résonance de la réponse en fréquence correspond au dépassement de pic de la réponse transitoire du domaine temporel pour certaines valeurs du rapport d'amortissement $ \ delta $. Ainsi, le pic de résonance et le dépassement de pic sont corrélés l'un à l'autre.

Bande passante

C'est la plage de fréquences sur laquelle, la magnitude de $ T (j \ omega) $ tombe à 70,7% de sa valeur de fréquence nulle.

À $ \ omega = 0 $, la valeur de $ u $ sera nulle.

Remplaçant, $ u = 0 $ en M.

$$ M = \ frac {1} {\ sqrt {(1-0 ^ 2) ^ 2 + (2 \ delta (0)) ^ 2}} = 1 $$

Par conséquent, la grandeur de $ T (j \ omega) $ est de un à $ \ omega = 0 $.

À une fréquence de 3 dB, la magnitude de $ T (j \ omega) $ sera de 70,7% de la magnitude de $ T (j \ omega) $ à $ \ omega = 0 $.

ie, à $ \ omega = \ omega_B, M = 0.707 (1) = \ frac {1} {\ sqrt {2}} $

$$ \ Rightarrow M = \ frac {1} {\ sqrt {2}} = \ frac {1} {\ sqrt {(1-u_b ^ 2) ^ 2 + (2 \ delta u_b) ^ 2}} $$

$$ \ Rightarrow 2 = (1-u_b ^ 2) ^ 2 + (2 \ delta) ^ 2 u_b ^ 2 $$

Soit, $ u_b ^ 2 = x $

$$ \ Flèche droite 2 = (1-x) ^ 2 + (2 \ delta) ^ 2 x $$

$$ \ Flèche droite x ^ 2 + (4 \ delta ^ 2-2) x-1 = 0 $$

$$ \ Rightarrow x = \ frac {- (4 \ delta ^ 2-2) \ pm \ sqrt {(4 \ delta ^ 2-2) ^ 2 + 4}} {2} $$

Considérez uniquement la valeur positive de x.

$$ x = 1-2 \ delta ^ 2 + \ sqrt {(2 \ delta ^ 2-1) ^ 2 + 1} $$

$$ \ Rightarrow x = 1-2 \ delta ^ 2 + \ sqrt {(2-4 \ delta ^ 2 + 4 \ delta ^ 4)} $$

Remplaçant, $ x = u_b ^ 2 = \ frac {\ omega_b ^ 2} {\ omega_n ^ 2} $

$$ \ frac {\ omega_b ^ 2} {\ omega_n ^ 2} = 1-2 \ delta ^ 2 + \ sqrt {(2-4 \ delta ^ 2 + 4 \ delta ^ 4)} $$

$$ \ Rightarrow \ omega_b = \ omega_n \ sqrt {1-2 \ delta ^ 2 + \ sqrt {(2-4 \ delta ^ 2 + 4 \ delta ^ 4)}} $$

La bande passante $ \ omega_b $ dans la réponse en fréquence est inversement proportionnelle au temps de montée $ t_r $ dans la réponse transitoire du domaine temporel.