Systèmes de contrôle - Tracés polaires

Dans les chapitres précédents, nous avons discuté des graphiques de Bode. Là, nous avons deux graphiques séparés pour la magnitude et la phase en fonction de la fréquence. Parlons maintenant des parcelles polaires. Le graphique polaire est un graphique qui peut être tracé entre la magnitude et la phase. Ici, les grandeurs sont représentées par des valeurs normales uniquement.

La forme polaire de $ G (j \ omega) H (j \ omega) $ est

$$ G (j \ omega) H (j \ omega) = | G (j \ omega) H (j \ omega) | \ angle G (j \ omega) H (j \ omega) $$

le Polar plotest un graphique, qui peut être tracé entre la magnitude et l'angle de phase de $ G (j \ omega) H (j \ omega) $ en faisant varier $ \ omega $ de zéro à ∞. La feuille de graphique polaire est illustrée dans la figure suivante.

Cette feuille graphique se compose de cercles concentriques et de lignes radiales. leconcentric circles et le radial linesreprésentent respectivement les amplitudes et les angles de phase. Ces angles sont représentés par des valeurs positives dans le sens anti-horaire. De même, nous pouvons représenter des angles avec des valeurs négatives dans le sens des aiguilles d'une montre. Par exemple, l'angle 270 ⁰ dans le sens anti-horaire est égal à l'angle -90 ⁰ dans le sens horaire.

Règles de dessin de tracés polaires

Suivez ces règles pour tracer les graphiques polaires.

• Remplacez, $ s = j \ omega $ dans la fonction de transfert en boucle ouverte.

• Écrivez les expressions pour la grandeur et la phase de $ G (j \ omega) H (j \ omega) $.

• Trouvez la grandeur de départ et la phase de $ G (j \ omega) H (j \ omega) $ en remplaçant $ \ omega = 0 $. Ainsi, le tracé polaire commence par cette magnitude et l'angle de phase.

• Trouvez la magnitude finale et la phase de $ G (j \ omega) H (j \ omega) $ en remplaçant $ \ omega = \ infty $. Ainsi, le tracé polaire se termine par cette magnitude et l'angle de phase.

• Vérifiez si le tracé polaire coupe l'axe réel, en rendant le terme imaginaire de $ G (j \ omega) H (j \ omega) $ égal à zéro et trouvez la ou les valeurs de $ \ omega $.

• Vérifiez si le tracé polaire coupe l'axe imaginaire, en rendant le terme réel de $ G (j \ omega) H (j \ omega) $ égal à zéro et trouvez la ou les valeurs de $ \ omega $.

• Pour dessiner plus clairement le graphique polaire, trouvez la magnitude et la phase de $ G (j \ omega) H (j \ omega) $ en considérant la ou les autres valeurs de $ \ omega $.

Exemple

Considérez la fonction de transfert en boucle ouverte d'un système de contrôle en boucle fermée.

$$ G (s) H (s) = \ frac {5} {s (s + 1) (s + 2)} $$

Dessinons le tracé polaire de ce système de contrôle en utilisant les règles ci-dessus.

Step 1 - Remplacez, $ s = j \ omega $ dans la fonction de transfert en boucle ouverte.

$$ G (j \ omega) H (j \ omega) = \ frac {5} {j \ omega (j \ omega + 1) (j \ omega + 2)} $$

L'ampleur de la fonction de transfert en boucle ouverte est

$$ M = \ frac {5} {\ omega (\ sqrt {\ omega ^ 2 + 1}) (\ sqrt {\ omega ^ 2 + 4})} $$

L'angle de phase de la fonction de transfert en boucle ouverte est

$$ \ phi = -90 ^ 0- \ tan ^ {- 1} \ omega- \ tan ^ {- 1} \ frac {\ omega} {2} $$

Step 2 - Le tableau suivant montre la magnitude et l'angle de phase de la fonction de transfert en boucle ouverte à $ \ omega = 0 $ rad / sec et $ \ omega = \ infty $ rad / sec.

Fréquence (rad / sec)	Ordre de grandeur	Angle de phase (degrés)
0	∞	-90 ou 270
∞	0	-270 ou 90

Ainsi, le tracé polaire commence à (∞, −90 ⁰ ) et se termine à (0, −270 ⁰ ). Les premier et deuxième termes entre crochets indiquent respectivement l'amplitude et l'angle de phase.

Step 3- Sur la base des coordonnées polaires de début et de fin, ce tracé polaire coupera l'axe réel négatif. L'angle de phase correspondant à l'axe réel négatif est de -180 ⁰ ou 180 ⁰ . Ainsi, en assimilant l'angle de phase de la fonction de transfert en boucle ouverte à −180 ⁰ ou 180 ⁰ , nous obtiendrons la valeur $ \ omega $ comme $ \ sqrt {2} $.

En substituant $ \ omega = \ sqrt {2} $ dans la grandeur de la fonction de transfert en boucle ouverte, nous obtiendrons $ M = 0,83 $. Par conséquent, le tracé polaire coupe l'axe réel négatif lorsque $ \ omega = \ sqrt {2} $ et la coordonnée polaire est (0,83, −180 ⁰ ).

Ainsi, nous pouvons dessiner le graphique polaire avec les informations ci-dessus sur la feuille de graphique polaire.