Systèmes de contrôle - parcelles de Nyquist
Les graphiques de Nyquist sont la continuation des graphiques polaires pour trouver la stabilité des systèmes de contrôle en boucle fermée en faisant varier ω de −∞ à ∞. Cela signifie que les graphiques de Nyquist sont utilisés pour dessiner la réponse en fréquence complète de la fonction de transfert en boucle ouverte.
Critère de stabilité de Nyquist
Le critère de stabilité de Nyquist fonctionne sur le principle of argument. Il déclare que s'il y a P pôles et que Z zéros sont entourés par le chemin fermé du plan 's', alors le plan $ G (s) H (s) $ correspondant doit encercler l'origine $ P - Z $ fois. Ainsi, nous pouvons écrire le nombre d'encerclements N comme,
$$ N = PZ $$
Si le chemin fermé du plan 's' inclus ne contient que des pôles, alors la direction de l'encerclement dans le plan $ G (s) H (s) $ sera opposée à la direction du chemin fermé fermé dans le plan 's'.
Si le chemin fermé du plan 's' inclus ne contient que des zéros, alors la direction de l'encerclement dans le plan $ G (s) H (s) $ sera dans la même direction que celle du chemin fermé inclus dans le 's' avion.
Appliquons maintenant le principe de l'argument à toute la moitié droite du plan 's' en le sélectionnant comme chemin fermé. Ce chemin sélectionné est appelé leNyquist contour.
On sait que le système de contrôle en boucle fermée est stable si tous les pôles de la fonction de transfert en boucle fermée sont dans la moitié gauche du plan «s». Ainsi, les pôles de la fonction de transfert en boucle fermée ne sont rien d'autre que les racines de l'équation caractéristique. Au fur et à mesure que l'ordre de l'équation caractéristique augmente, il est difficile de trouver les racines. Alors, corrélons ces racines de l'équation caractéristique comme suit.
Les pôles de l'équation caractéristique sont les mêmes que ceux des pôles de la fonction de transfert en boucle ouverte.
Les zéros de l'équation caractéristique sont les mêmes que ceux des pôles de la fonction de transfert en boucle fermée.
Nous savons que le système de contrôle en boucle ouverte est stable s'il n'y a pas de pôle en boucle ouverte dans la moitié droite du plan «s».
c'est-à-dire $ P = 0 \ Rightarrow N = -Z $
Nous savons que le système de contrôle en boucle fermée est stable s'il n'y a pas de pôle en boucle fermée dans la moitié droite du plan «s».
c'est-à-dire, $ Z = 0 \ Flèche droite N = P $
Nyquist stability criterionindique que le nombre d'encerclements autour du point critique (1 + j0) doit être égal aux pôles de l'équation caractéristique, qui n'est rien d'autre que les pôles de la fonction de transfert en boucle ouverte dans la moitié droite du plan «s». Le décalage d'origine vers (1 + j0) donne le plan d'équation caractéristique.
Règles de dessin des tracés de Nyquist
Suivez ces règles pour tracer les parcelles de Nyquist.
Localisez les pôles et les zéros de la fonction de transfert en boucle ouverte $ G (s) H (s) $ dans le plan 's'.
Dessinez le graphique polaire en faisant varier $ \ omega $ de zéro à l'infini. Si le pôle ou le zéro sont présents à s = 0, alors faire varier $ \ omega $ de 0+ à l'infini pour dessiner un tracé polaire.
Dessinez l'image miroir du tracé polaire ci-dessus pour des valeurs de $ \ omega $ allant de −∞ à zéro (0 - si un pôle ou un zéro est présent à s = 0).
Le nombre de demi-cercles de rayon infini sera égal au nombre de pôles ou de zéros à l'origine. Le demi-cercle de rayon infini commencera au point où l'image miroir du tracé polaire se termine. Et ce demi-cercle de rayon infini se terminera au point où le tracé polaire commence.
Après avoir tracé le graphique de Nyquist, nous pouvons trouver la stabilité du système de contrôle en boucle fermée en utilisant le critère de stabilité de Nyquist. Si le point critique (-1 + j0) se situe en dehors de l'encerclement, alors le système de contrôle en boucle fermée est absolument stable.
Analyse de stabilité à l'aide des graphiques de Nyquist
À partir des graphiques de Nyquist, nous pouvons identifier si le système de contrôle est stable, marginalement stable ou instable sur la base des valeurs de ces paramètres.
- Fréquence croisée de gain et fréquence croisée de phase
- Marge de gain et marge de phase
Fréquence de croisement de phase
La fréquence à laquelle le graphique de Nyquist coupe l'axe réel négatif (l'angle de phase est de 180 0 ) est connue sous le nom dephase cross over frequency. Il est noté $ \ omega_ {pc} $.
Gain de fréquence de croisement
La fréquence à laquelle le graphique de Nyquist a la magnitude de un est connue sous le nom de gain cross over frequency. Il est noté $ \ omega_ {gc} $.
La stabilité du système de commande basée sur la relation entre la fréquence de croisement de phase et la fréquence de croisement de gain est indiquée ci-dessous.
Si la fréquence de croisement de phase $ \ omega_ {pc} $ est supérieure à la fréquence de croisement de gain $ \ omega_ {gc} $, alors le système de contrôle est stable.
Si la fréquence de croisement de phase $ \ omega_ {pc} $ est égale à la fréquence de croisement de gain $ \ omega_ {gc} $, alors le système de contrôle est marginally stable.
Si la fréquence de croisement de phase $ \ omega_ {pc} $ est inférieure à la fréquence de croisement de gain $ \ omega_ {gc} $, alors le système de contrôle est unstable.
Gagner de la marge
La marge de gain $ GM $ est égale à l'inverse de la grandeur du graphique de Nyquist à la fréquence de croisement de phase.
$$ GM = \ frac {1} {M_ {pc}} $$
Où, $ M_ {pc} $ est la grandeur en échelle normale à la fréquence de croisement de phase.
Marge de phase
La marge de phase $ PM $ est égale à la somme de 180 0 et de l'angle de phase à la fréquence de croisement du gain.
$$ PM = 180 ^ 0 + \ phi_ {gc} $$
Où, $ \ phi_ {gc} $ est l'angle de phase à la fréquence de croisement du gain.
La stabilité du système de commande basée sur la relation entre la marge de gain et la marge de phase est indiquée ci-dessous.
Si la marge de gain $ GM $ est supérieure à un et la marge de phase $ PM $ est positive, alors le système de contrôle est stable.
Si la marge de gain $ GM $ est égale à un et la marge de phase $ PM $ est de zéro degré, alors le système de contrôle est marginally stable.
Si la marge de gain $ GM $ est inférieure à un et / ou la marge de phase $ PM $ est négative, alors le système de contrôle est unstable.