Construction du locus racine

le root locusest une représentation graphique dans le domaine s et elle est symétrique par rapport à l'axe réel. Parce que les pôles et les zéros en boucle ouverte existent dans le domaine s ayant les valeurs sous forme de paires conjuguées réelles ou complexes. Dans ce chapitre, discutons de la façon de construire (dessiner) le locus racine.

Règles de construction du locus racine

Suivez ces règles pour construire un locus racine.

Rule 1 - Localisez les pôles de la boucle ouverte et les zéros dans le plan 's'.

Rule 2 - Trouvez le nombre de branches du locus racine.

Nous savons que les branches du locus racine commencent aux pôles de la boucle ouverte et se terminent aux zéros de la boucle ouverte. Donc, le nombre de branches du locus racineN est égal au nombre de pôles finis en boucle ouverte P ou le nombre de zéros finis en boucle ouverte Z, selon la valeur la plus élevée.

Mathématiquement, nous pouvons écrire le nombre de branches du locus racine N comme

$ N = P $ si $ P \ geq Z $

$ N = Z $ si $ P <Z $

Rule 3 - Identifiez et dessinez le real axis root locus branches.

Si l'angle de la fonction de transfert en boucle ouverte en un point est un multiple impair de 180 0 , alors ce point est sur le lieu racine. S'il existe un nombre impair de pôles en boucle ouverte et des zéros sur le côté gauche d'un point sur l'axe réel, alors ce point se trouve sur la branche du locus racine. Par conséquent, la branche de points qui satisfait à cette condition est l'axe réel de la branche du locus racine.

Rule 4 - Trouvez le centre de gravité et l'angle des asymptotes.

  • Si $ P = Z $, alors toutes les branches du locus racine commencent à des pôles de boucle ouverte finis et se terminent à des zéros de boucle ouverte finis.

  • Si $ P> Z $, alors $ Z $ le nombre de branches de locus racine commence aux pôles de boucle ouverte finis et se termine à des zéros de boucle ouverte finis et $ P - Z $ le nombre de branches de locus racine commence à des pôles de boucle ouverte finis et se termine à l'infini zéros en boucle ouverte.

  • Si $ P <Z $, alors P nombre de branches de locus racine commence aux pôles de boucle ouverte finis et se termine à des zéros de boucle ouverte finis et $ Z - P $ le nombre de branches de locus racine commence à des pôles en boucle ouverte infinie et se termine à une boucle ouverte finie des zéros.

Ainsi, certaines branches du locus racine se rapprochent de l'infini, lorsque $ P \ neq Z $. Les asymptotes donnent la direction de ces branches du locus racinaire. Le point d'intersection des asymptotes sur l'axe réel est appelécentroid.

Nous pouvons calculer le centroid α en utilisant cette formule,

$ \ alpha = \ frac {\ sum Real \: part \: of \: fini \: open \: loop \: poles \: - \ sum Real \: part \: of \: finite \: open \: loop \ : zéros} {PZ} $

La formule de l'angle de asymptotes θ est

$$ \ theta = \ frac {(2q + 1) 180 ^ 0} {PZ} $$

Où,

$$ q = 0,1,2, ...., (PZ) -1 $$

Rule 5 - Trouvez les points d'intersection des branches du locus racine avec un axe imaginaire.

Nous pouvons calculer le point auquel la branche du locus racine coupe l'axe imaginaire et la valeur de K à ce stade en utilisant la méthode de tableau Routh et case (ii).

  • Si tous les éléments d'une ligne quelconque du tableau Routh sont égaux à zéro, alors la branche du lieu racine coupe l'axe imaginaire et vice-versa.

  • Identifiez la ligne de telle manière que si nous rendons le premier élément égal à zéro, les éléments de la ligne entière soient à zéro. Trouvez la valeur deK pour cette combinaison.

  • Remplacez ceci Kvaleur dans l'équation auxiliaire. Vous obtiendrez le point d'intersection de la branche du locus racine avec un axe imaginaire.

Rule 6 - Trouvez des points de rupture et de rupture.

  • S'il existe une branche de locus racine d'axe réel entre deux pôles en boucle ouverte, alors il y aura un break-away point entre ces deux pôles en boucle ouverte.

  • S'il existe une branche de locus racine d'axe réel entre deux zéros en boucle ouverte, alors il y aura un break-in point entre ces deux zéros en boucle ouverte.

Note - Les points de rupture et de rupture n'existent que sur les branches du locus racine de l'axe réel.

Suivez ces étapes pour trouver les points de rupture et de rodage.

  • Écrivez $ K $ en termes de $ s $ à partir de l'équation caractéristique $ 1 + G (s) H (s) = 0 $.

  • Différenciez $ K $ par rapport à s et rendez-le égal à zéro. Remplacez ces valeurs de $ s $ dans l'équation ci-dessus.

  • Les valeurs de $ s $ pour lesquelles la valeur $ K $ est positive sont les break points.

Rule 7 - Trouvez l'angle de départ et l'angle d'arrivée.

L'angle de départ et l'angle d'arrivée peuvent être calculés respectivement à des pôles en boucle ouverte conjugués complexes et à des zéros en boucle ouverte conjugués complexes.

La formule du angle of departure $ \ phi_d $ est

$$ \ phi_d = 180 ^ 0- \ phi $$

La formule du angle of arrival $ \ phi_a $ est

$$ \ phi_a = 180 ^ 0 + \ phi $$

Où,

$$ \ phi = \ sum \ phi_P- \ sum \ phi_Z $$

Exemple

Dessinons maintenant le lieu racine du système de contrôle ayant la fonction de transfert en boucle ouverte, $ G (s) H (s) = \ frac {K} {s (s + 1) (s + 5)} $

Step 1- La fonction de transfert en boucle ouverte donnée a trois pôles à $ s = 0, s = −1 $ et $ s = −5 $. Il n'a pas de zéro. Par conséquent, le nombre de branches de locus racine est égal au nombre de pôles de la fonction de transfert en boucle ouverte.

$$ N = P = 3 $$

Les trois pôles situés sont illustrés dans la figure ci-dessus. Le segment de droite entre $ s = −1 $ et $ s = 0 $ est une branche du locus racine sur l'axe réel. Et l'autre branche du lieu racine sur l'axe réel est le segment de droite à gauche de $ s = −5 $.

Step 2 - Nous obtiendrons les valeurs du centroïde et de l'angle des asymptotes en utilisant les formules données.

Centroïde $ \ alpha = −2 $

L'angle des asymptotes est $ \ theta = 60 ^ 0,180 ^ 0 $ et $ 300 ^ 0 $.

Le centre de gravité et trois asymptotes sont indiqués dans la figure suivante.

Step 3- Puisque deux asymptotes ont les angles de 60 $ ^ 0 $ et de 300 $ ^ 0 $, deux branches de lieu racine coupent l'axe imaginaire. En utilisant la méthode de tableau de Routh et le cas spécial (ii), les branches du locus racine coupent l'axe imaginaire en $ j \ sqrt {5} $ et $ −j \ sqrt {5} $.

Il y aura un point de rupture sur la branche du locus racine de l'axe réel entre les pôles $ s = −1 $ et $ s = 0 $. En suivant la procédure donnée pour le calcul du point de rupture, nous l'obtiendrons comme $ s = −0.473 $.

Le diagramme du locus racine pour le système de contrôle donné est illustré dans la figure suivante.

De cette façon, vous pouvez dessiner le diagramme de localisation racine de n'importe quel système de contrôle et observer le mouvement des pôles de la fonction de transfert en boucle fermée.

À partir des diagrammes de locus racine, nous pouvons connaître la plage de valeurs K pour différents types d'amortissement.

Effets de l'ajout de pôles en boucle ouverte et de zéros sur le locus racine

Le locus racine peut être déplacé en ‘s’ plane en ajoutant les pôles en boucle ouverte et les zéros en boucle ouverte.

  • Si nous incluons un pôle dans la fonction de transfert en boucle ouverte, alors certaines des branches du locus racine se déplaceront vers la moitié droite du plan «s». Pour cette raison, le rapport d'amortissement $ \ delta $ diminue. Ce qui implique que la fréquence amortie $ \ omega_d $ augmente et que les spécifications du domaine temporel comme le temps de retard $ t_d $, le temps de montée $ t_r $ et le temps de pointe $ t_p $ diminuent. Mais cela affecte la stabilité du système.

  • Si nous incluons un zéro dans la fonction de transfert en boucle ouverte, alors certaines des branches du locus racine se déplaceront vers la moitié gauche du plan «s». Ainsi, cela augmentera la stabilité du système de contrôle. Dans ce cas, le rapport d'amortissement $ \ delta $ augmente. Ce qui implique que la fréquence amortie $ \ omega_d $ diminue et les spécifications du domaine temporel telles que le temps de retard $ t_d $, le temps de montée $ t_r $ et le temps de pointe $ t_p $ augmentent.

Ainsi, en fonction de l'exigence, nous pouvons inclure (ajouter) les pôles en boucle ouverte ou les zéros à la fonction de transfert.