Systèmes de contrôle - Modèles mathématiques

Les systèmes de contrôle peuvent être représentés avec un ensemble d'équations mathématiques appelées mathematical model. Ces modèles sont utiles pour l'analyse et la conception de systèmes de contrôle. L'analyse du système de contrôle signifie trouver la sortie lorsque nous connaissons l'entrée et le modèle mathématique. La conception d'un système de contrôle signifie trouver le modèle mathématique lorsque nous connaissons l'entrée et la sortie.

Les modèles mathématiques suivants sont principalement utilisés.

  • Modèle d'équation différentielle
  • Modèle de fonction de transfert
  • Modèle d'espace d'état

Discutons des deux premiers modèles dans ce chapitre.

Modèle d'équation différentielle

Le modèle d'équation différentielle est un modèle mathématique du domaine temporel des systèmes de contrôle. Suivez ces étapes pour le modèle d'équation différentielle.

  • Appliquer les lois de base au système de contrôle donné.

  • Obtenez l'équation différentielle en termes d'entrée et de sortie en éliminant la ou les variables intermédiaires.

Exemple

Tenez compte du système électrique suivant, comme illustré dans la figure suivante. Ce circuit se compose d'une résistance, d'une inductance et d'un condensateur. Tous ces éléments électriques sont connectés enseries. La tension d'entrée appliquée à ce circuit est $ v_i $ et la tension aux bornes du condensateur est la tension de sortie $ v_o $.

L'équation de maillage pour ce circuit est

$$ v_i = Ri + L \ frac {\ text {d} i} {\ text {d} t} + v_o $$

Remplacez, le courant traversant le condensateur $ i = c \ frac {\ text {d} v_o} {\ text {d} t} $ dans l'équation ci-dessus.

$$ \ Rightarrow \: v_i = RC \ frac {\ text {d} v_o} {\ text {d} t} + LC \ frac {\ text {d} ^ 2v_o} {\ text {d} t ^ 2} + v_o $$

$$ \ Rightarrow \ frac {\ text {d} ^ 2v_o} {\ text {d} t ^ 2} + \ left (\ frac {R} {L} \ right) \ frac {\ text {d} v_o} {\ text {d} t} + \ left (\ frac {1} {LC} \ right) v_o = \ left (\ frac {1} {LC} \ right) v_i $$

L'équation ci-dessus est un second ordre differential equation.

Modèle de fonction de transfert

Le modèle de fonction de transfert est un modèle mathématique du domaine s des systèmes de contrôle. leTransfer function d'un système LTI (Linear Time Invariant) est défini comme le rapport entre la transformée de Laplace de la sortie et la transformée de Laplace de l'entrée en supposant que toutes les conditions initiales sont nulles.

Si $ x (t) $ et $ y (t) $ sont l'entrée et la sortie d'un système LTI, alors les transformées de Laplace correspondantes sont $ X (s) $ et $ Y (s) $.

Par conséquent, la fonction de transfert du système LTI est égale au rapport de $ Y (s) $ et $ X (s) $.

$$ ie, \: Transfer \: Function = \ frac {Y (s)} {X (s)} $$

Le modèle de fonction de transfert d'un système LTI est illustré dans la figure suivante.

Ici, nous avons représenté un système LTI avec un bloc ayant une fonction de transfert à l'intérieur. Et ce bloc a une entrée $ X (s) $ et une sortie $ Y (s) $.

Exemple

Auparavant, nous obtenions l'équation différentielle d'un système électrique comme

$$ \ frac {\ text {d} ^ 2v_o} {\ text {d} t ^ 2} + \ left (\ frac {R} {L} \ right) \ frac {\ text {d} v_o} {\ text {d} t} + \ left (\ frac {1} {LC} \ right) v_o = \ left (\ frac {1} {LC} \ right) v_i $$

Appliquez la transformation de Laplace des deux côtés.

$$ s ^ 2V_o (s) + \ left (\ frac {sR} {L} \ right) V_o (s) + \ left (\ frac {1} {LC} \ right) V_o (s) = \ left ( \ frac {1} {LC} \ right) V_i (s) $$

$$ \ Rightarrow \ left \ {s ^ 2 + \ left (\ frac {R} {L} \ right) s + \ frac {1} {LC} \ right \} V_o (s) = \ left (\ frac { 1} {LC} \ droite) V_i (s) $$

$$ \ Rightarrow \ frac {V_o (s)} {V_i (s)} = \ frac {\ frac {1} {LC}} {s ^ 2 + \ left (\ frac {R} {L} \ right) s + \ frac {1} {LC}} $$

Où,

  • $ v_i (s) $ est la transformée de Laplace de la tension d'entrée $ v_i $

  • $ v_o (s) $ est la transformée de Laplace de la tension de sortie $ v_o $

L'équation ci-dessus est un transfer functiondu système électrique du second ordre. Le modèle de fonction de transfert de ce système est illustré ci-dessous.

Ici, nous montrons un système électrique du second ordre avec un bloc ayant la fonction de transfert à l'intérieur. Et ce bloc a une entrée $ V_i (s) $ et une sortie $ V_o (s) $.