Réponse du système de second ordre

Dans ce chapitre, parlons de la réponse temporelle du système du second ordre. Considérez le schéma fonctionnel suivant du système de contrôle en boucle fermée. Ici, une fonction de transfert en boucle ouverte, $ \ frac {\ omega ^ 2_n} {s (s + 2 \ delta \ omega_n)} $ est connectée avec une rétroaction négative unitaire.

Nous savons que la fonction de transfert du système de contrôle en boucle fermée ayant une rétroaction négative unitaire comme

$$ \ frac {C (s)} {R (s)} = \ frac {G (s)} {1 + G (s)} $$

Remplacez, $ G (s) = \ frac {\ omega ^ 2_n} {s (s + 2 \ delta \ omega_n)} $ dans l'équation ci-dessus.

$$ \ frac {C (s)} {R (s)} = \ frac {\ left (\ frac {\ omega ^ 2_n} {s (s + 2 \ delta \ omega_n)} \ right)} {1+ \ gauche (\ frac {\ omega ^ 2_n} {s (s + 2 \ delta \ omega_n)} \ right)} = \ frac {\ omega _n ^ 2} {s ^ 2 + 2 \ delta \ omega _ns + \ omega _n ^ 2} $$

Le pouvoir du «s» est de deux dans le terme dénominateur. Par conséquent, la fonction de transfert ci-dessus est du second ordre et le système est ditsecond order system.

L'équation caractéristique est -

$$ s ^ 2 + 2 \ delta \ omega _ns + \ omega _n ^ 2 = 0 $$

Les racines de l'équation caractéristique sont -

$$ s = \ frac {-2 \ omega \ delta _n \ pm \ sqrt {(2 \ delta \ omega _n) ^ 2-4 \ omega _n ^ 2}} {2} = \ frac {-2 (\ delta \ omega _n \ pm \ omega _n \ sqrt {\ delta ^ 2-1})} {2} $$

$$ \ Rightarrow s = - \ delta \ omega_n \ pm \ omega _n \ sqrt {\ delta ^ 2-1} $$

  • Les deux racines sont imaginaires lorsque δ = 0.
  • Les deux racines sont réelles et égales lorsque δ = 1.
  • Les deux racines sont réelles mais non égales lorsque δ> 1.
  • Les deux racines sont conjuguées complexes lorsque 0 <δ <1.

On peut écrire l'équation $ C (s) $ comme suit:

$$ C (s) = \ gauche (\ frac {\ omega _n ^ 2} {s ^ 2 + 2 \ delta \ omega_ns + \ omega_n ^ 2} \ droite) R (s) $$

Où,

  • C(s) est la transformée de Laplace du signal de sortie, c (t)

  • R(s) est la transformée de Laplace du signal d'entrée, r (t)

  • ωn est la fréquence naturelle

  • δ est le rapport d'amortissement.

Suivez ces étapes pour obtenir la réponse (sortie) du système de second ordre dans le domaine temporel.

  • Prenons la transformée de Laplace du signal d'entrée, $ r (t) $.

  • Considérons l'équation, $ C (s) = \ left (\ frac {\ omega _n ^ 2} {s ^ 2 + 2 \ delta \ omega_ns + \ omega_n ^ 2} \ right) R (s) $

  • Remplacez la valeur $ R (s) $ dans l'équation ci-dessus.

  • Faites des fractions partielles de $ C (s) $ si nécessaire.

  • Appliquer la transformée de Laplace inverse à $ C (s) $.

Réponse échelonnée du système de second ordre

Considérez le signal de pas d'unité comme une entrée du système de second ordre.

La transformée de Laplace du signal de pas unitaire est,

$$ R (s) = \ frac {1} {s} $$

Nous savons que la fonction de transfert du système de contrôle en boucle fermée du second ordre est,

$$ \ frac {C (s)} {R (s)} = \ frac {\ omega _n ^ 2} {s ^ 2 + 2 \ delta \ omega_ns + \ omega_n ^ 2} $$

Cas 1: δ = 0

Remplacez, $ \ delta = 0 $ dans la fonction de transfert.

$$ \ frac {C (s)} {R (s)} = \ frac {\ omega_n ^ 2} {s ^ 2 + \ omega_n ^ 2} $$

$$ \ Rightarrow C (s) = \ left (\ frac {\ omega_n ^ 2} {s ^ 2 + \ omega_n ^ 2} \ right) R (s) $$

Remplacez, $ R (s) = \ frac {1} {s} $ dans l'équation ci-dessus.

$$ C (s) = \ left (\ frac {\ omega_n ^ 2} {s ^ 2 + \ omega_n ^ 2} \ right) \ left (\ frac {1} {s} \ right) = \ frac {\ omega_n ^ 2} {s (s ^ 2 + \ omega_n ^ 2)} $$

Appliquez la transformée de Laplace inverse des deux côtés.

$$ c (t) = \ gauche (1- \ cos (\ omega_n t) \ droite) u (t) $$

Ainsi, la réponse de pas unitaire du système du second ordre lorsque $ / delta = 0 $ sera un signal de temps continu avec une amplitude et une fréquence constantes.

Cas 2: δ = 1

Remplacez, $ / delta = 1 $ dans la fonction de transfert.

$$ \ frac {C (s)} {R (s)} = \ frac {\ omega_n ^ 2} {s ^ 2 + 2 \ omega_ns + \ omega_n ^ 2} $$

$$ \ Rightarrow C (s) = \ left (\ frac {\ omega_n ^ 2} {(s + \ omega_n) ^ 2} \ right) R (s) $$

Remplacez, $ R (s) = \ frac {1} {s} $ dans l'équation ci-dessus.

$$ C (s) = \ left (\ frac {\ omega_n ^ 2} {(s + \ omega_n) ^ 2} \ right) \ left (\ frac {1} {s} \ right) = \ frac {\ omega_n ^ 2} {s (s + \ omega_n) ^ 2} $$

Faites des fractions partielles de $ C (s) $.

$$ C (s) = \ frac {\ omega_n ^ 2} {s (s + \ omega_n) ^ 2} = \ frac {A} {s} + \ frac {B} {s + \ omega_n} + \ frac {C } {(s + \ omega_n) ^ 2} $$

Après avoir simplifié, vous obtiendrez les valeurs de A, B et C comme $ 1, \: -1 \: et \: - \ omega _n $ respectivement. Remplacez ces valeurs dans le développement de fraction partielle ci-dessus de $ C (s) $.

$$ C (s) = \ frac {1} {s} - \ frac {1} {s + \ omega_n} - \ frac {\ omega_n} {(s + \ omega_n) ^ 2} $$

Appliquez la transformée de Laplace inverse des deux côtés.

$$ c (t) = (1-e ^ {- \ omega_nt} - \ omega _nte ^ {- \ omega_nt}) u (t) $$

Ainsi, la réponse de pas unitaire du système du second ordre essaiera d'atteindre l'entrée de pas en régime permanent.

Cas 3: 0 <δ <1

On peut modifier le terme dénominateur de la fonction de transfert comme suit -

$$ s ^ 2 + 2 \ delta \ omega_ns + \ omega_n ^ 2 = \ gauche \ {s ^ 2 + 2 (s) (\ delta \ omega_n) + (\ delta \ omega_n) ^ 2 \ right \} + \ omega_n ^ 2 - (\ delta \ omega_n) ^ 2 $$

$$ = (s + \ delta \ omega_n) ^ 2 + \ omega_n ^ 2 (1- \ delta ^ 2) $$

La fonction de transfert devient,

$$ \ frac {C (s)} {R (s)} = \ frac {\ omega_n ^ 2} {(s + \ delta \ omega_n) ^ 2 + \ omega_n ^ 2 (1- \ delta ^ 2)} $ $

$$ \ Rightarrow C (s) = \ left (\ frac {\ omega_n ^ 2} {(s + \ delta \ omega_n) ^ 2 + \ omega_n ^ 2 (1- \ delta ^ 2)} \ right) R (s ) $$

Remplacez, $ R (s) = \ frac {1} {s} $ dans l'équation ci-dessus.

$$ C (s) = \ gauche (\ frac {\ omega_n ^ 2} {(s + \ delta \ omega_n) ^ 2 + \ omega_n ^ 2 (1- \ delta ^ 2)} \ droite) \ gauche (\ frac {1} {s} \ right) = \ frac {\ omega_n ^ 2} {s \ left ((s + \ delta \ omega_n) ^ 2 + \ omega_n ^ 2 (1- \ delta ^ 2) \ right)} $ $

Faites des fractions partielles de $ C (s) $.

$$ C (s) = \ frac {\ omega_n ^ 2} {s \ left ((s + \ delta \ omega_n) ^ 2 + \ omega_n ^ 2 (1- \ delta ^ 2) \ right)} = \ frac { A} {s} + \ frac {Bs + C} {(s + \ delta \ omega_n) ^ 2 + \ omega_n ^ 2 (1- \ delta ^ 2)} $$

Après avoir simplifié, vous obtiendrez les valeurs de A, B et C comme $ 1, \: -1 \: et \: −2 \ delta \ omega _n $ respectivement. Remplacez ces valeurs dans l'expansion de fraction partielle ci-dessus de C (s).

$$ C (s) = \ frac {1} {s} - \ frac {s + 2 \ delta \ omega_n} {(s + \ delta \ omega_n) ^ 2 + \ omega_n ^ 2 (1- \ delta ^ 2) } $$

$$ C (s) = \ frac {1} {s} - \ frac {s + \ delta \ omega_n} {(s + \ delta \ omega_n) ^ 2 + \ omega_n ^ 2 (1- \ delta ^ 2)} - \ frac {\ delta \ omega_n} {(s + \ delta \ omega_n) ^ 2 + \ omega_n ^ 2 (1- \ delta ^ 2)} $$

$ C (s) = \ frac {1} {s} - \ frac {(s + \ delta \ omega_n)} {(s + \ delta \ omega_n) ^ 2 + (\ omega_n \ sqrt {1- \ delta ^ 2} ) ^ 2} - \ frac {\ delta} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ gauche (\ frac {\ omega_n \ sqrt {1- \ delta ^ 2}} {(s + \ delta \ omega_n) ^ 2 + (\ omega_n \ sqrt {1- \ delta ^ 2}) ^ 2} \ right) $

Remplacez $ \ omega_n \ sqrt {1- \ delta ^ 2} $ par $ \ omega_d $ dans l'équation ci-dessus.

$$ C (s) = \ frac {1} {s} - \ frac {(s + \ delta \ omega_n)} {(s + \ delta \ omega_n) ^ 2 + \ omega_d ^ 2} - \ frac {\ delta} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ left (\ frac {\ omega_d} {(s + \ delta \ omega_n) ^ 2 + \ omega_d ^ 2} \ right) $$

Appliquez la transformée de Laplace inverse des deux côtés.

$$ c (t) = \ left (1-e ^ {- \ delta \ omega_nt} \ cos (\ omega_dt) - \ frac {\ delta} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} e ^ {- \ delta \ omega_nt} \ sin (\ omega_dt) \ right) u (t) $$

$$ c (t) = \ left (1- \ frac {e ^ {- \ delta \ omega_nt}} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ left ((\ sqrt {1- \ delta ^ 2 }) \ cos (\ omega_dt) + \ delta \ sin (\ omega_dt) \ right) \ right) u (t) $$

Si $ \ sqrt {1- \ delta ^ 2} = \ sin (\ theta) $, alors 'δ' sera cos (θ). Remplacez ces valeurs dans l'équation ci-dessus.

$$ c (t) = \ gauche (1- \ frac {e ^ {- \ delta \ omega_nt}} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} (\ sin (\ theta) \ cos (\ omega_dt) + \ cos (\ theta) \ sin (\ omega_dt)) \ right) u (t) $$

$$ \ Rightarrow c (t) = \ left (1- \ left (\ frac {e ^ {- \ delta \ omega_nt}} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ right) \ sin (\ omega_dt + \ theta) \ droite) u (t) $$

Ainsi, la réponse en pas unitaire du système du second ordre a des oscillations amorties (amplitude décroissante) lorsque «δ» est compris entre zéro et un.

Cas 4: δ> 1

On peut modifier le terme dénominateur de la fonction de transfert comme suit -

$$ s ^ 2 + 2 \ delta \ omega_ns + \ omega_n ^ 2 = \ gauche \ {s ^ 2 + 2 (s) (\ delta \ omega_n) + (\ delta \ omega_n) ^ 2 \ right \} + \ omega_n ^ 2 - (\ delta \ omega_n) ^ 2 $$

$$ = \ gauche (s + \ delta \ omega_n \ droite) ^ 2- \ omega_n ^ 2 \ gauche (\ delta ^ 2-1 \ droite) $$

La fonction de transfert devient,

$$ \ frac {C (s)} {R (s)} = \ frac {\ omega_n ^ 2} {(s + \ delta \ omega_n) ^ 2- \ omega_n ^ 2 (\ delta ^ 2-1)} $ $

$$ \ Rightarrow C (s) = \ left (\ frac {\ omega_n ^ 2} {(s + \ delta \ omega_n) ^ 2- \ omega_n ^ 2 (\ delta ^ 2-1)} \ right) R (s ) $$

Remplacez, $ R (s) = \ frac {1} {s} $ dans l'équation ci-dessus.

$ C (s) = \ gauche (\ frac {\ omega_n ^ 2} {(s + \ delta \ omega_n) ^ 2 - (\ omega_n \ sqrt {\ delta ^ 2-1}) ^ 2} \ droite) \ gauche (\ frac {1} {s} \ right) = \ frac {\ omega_n ^ 2} {s (s + \ delta \ omega_n + \ omega_n \ sqrt {\ delta ^ 2-1}) (s + \ delta \ omega_n- \ omega_n \ sqrt {\ delta ^ 2-1})} $

Faites des fractions partielles de $ C (s) $.

$$ C (s) = \ frac {\ omega_n ^ 2} {s (s + \ delta \ omega_n + \ omega_n \ sqrt {\ delta ^ 2-1}) (s + \ delta \ omega_n- \ omega_n \ sqrt {\ delta ^ 2-1})} $$

$$ = \ frac {A} {s} + \ frac {B} {s + \ delta \ omega_n + \ omega_n \ sqrt {\ delta ^ 2-1}} + \ frac {C} {s + \ delta \ omega_n- \ omega_n \ sqrt {\ delta ^ 2-1}} $$

Après avoir simplifié, vous obtiendrez les valeurs de A, B et C comme 1, $ \ frac {1} {2 (\ delta + \ sqrt {\ delta ^ 2-1}) (\ sqrt {\ delta ^ 2-1} )} $ et $ \ frac {-1} {2 (\ delta- \ sqrt {\ delta ^ 2-1}) (\ sqrt {\ delta ^ 2-1})} $ respectivement. Remplacez ces valeurs dans le développement de fraction partielle ci-dessus de $ C (s) $.

$$ C (s) = \ frac {1} {s} + \ frac {1} {2 (\ delta + \ sqrt {\ delta ^ 2-1}) (\ sqrt {\ delta ^ 2-1})} \ gauche (\ frac {1} {s + \ delta \ omega_n + \ omega_n \ sqrt {\ delta ^ 2-1}} \ droite) - \ gauche (\ frac {1} {2 (\ delta- \ sqrt {\ delta ^ 2-1}) (\ sqrt {\ delta ^ 2-1})} \ right) \ left (\ frac {1} {s + \ delta \ omega_n- \ omega_n \ sqrt {\ delta ^ 2-1}} \ droite) $$

Appliquez la transformée de Laplace inverse des deux côtés.

$ c (t) = \ gauche (1+ \ gauche (\ frac {1} {2 (\ delta + \ sqrt {\ delta ^ 2-1}) (\ sqrt {\ delta ^ 2-1})} \ droite ) e ^ {- (\ delta \ omega_n + \ omega_n \ sqrt {\ delta ^ 2-1}) t} - \ gauche (\ frac {1} {2 (\ delta- \ sqrt {\ delta ^ 2-1} ) (\ sqrt {\ delta ^ 2-1})} \ right) e ^ {- (\ delta \ omega_n- \ omega_n \ sqrt {\ delta ^ 2-1}) t} \ right) u (t) $

Puisqu'il est suramorti, la réponse de pas unitaire du système du second ordre lorsque δ> 1 n'atteindra jamais l'entrée de pas en régime permanent.

Réponse impulsionnelle du système de second ordre

le impulse response du système du second ordre peut être obtenu en utilisant l'une quelconque de ces deux méthodes.

  • Suivez la procédure impliquée lors de la dérivation de la réponse d'étape en considérant la valeur de $ R (s) $ comme 1 au lieu de $ \ frac {1} {s} $.

  • Faites la différenciation de la réponse par étapes.

Le tableau suivant montre la réponse impulsionnelle du système du second ordre pour 4 cas du rapport d'amortissement.

État du rapport d'amortissement Réponse impulsionnelle pour t ≥ 0

δ = 0

$ \ omega_n \ sin (\ omega_nt) $

δ = 1

$ \ omega_n ^ 2te ^ {- \ omega_nt} $

0 <δ <1

$ \ left (\ frac {\ omega_ne ^ {- \ delta \ omega_nt}} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ right) \ sin (\ omega_dt) $

δ> 1

$ \ gauche (\ frac {\ omega_n} {2 \ sqrt {\ delta ^ 2-1}} \ droite) \ gauche (e ^ {- (\ delta \ omega_n- \ omega_n \ sqrt {\ delta ^ 2-1 }) t} -e ^ {- (\ delta \ omega_n + \ omega_n \ sqrt {\ delta ^ 2-1}) t} \ right) $