Formule de gain de Mason

Parlons maintenant de la formule de gain de Mason. Supposons qu'il y ait «N» chemins aller dans un graphe de flux de signaux. Le gain entre les nœuds d'entrée et de sortie d'un graphe de flux de signaux n'est rien d'autre que letransfer functiondu système. Il peut être calculé en utilisant la formule de gain de Mason.

Mason’s gain formula is

$$ T = \ frac {C (s)} {R (s)} = \ frac {\ Sigma ^ N _ {i = 1} P_i \ Delta _i} {\ Delta} $$

Où,

• C(s) est le nœud de sortie

• R(s) est le nœud d'entrée

• T est la fonction de transfert ou le gain entre $ R (s) $ et $ C (s) $

• P_iest le i ^ème gain du trajet aller

$ \ Delta = 1- (somme \: of \: all \: individual \: loop \: gains) $

$ + (somme \: of \: gain \: products \: of \: all \: possible \: two \: nontouching \: loops) $

$$ - (somme \: of \: gain \: products \: of \: all \: possible \: three \: nontouching \: loops) + ... $$

Δ _i est obtenu à partir de Δ en supprimant les boucles qui touchent le i ^ème trajet aller .

Considérez le graphique de flux de signaux suivant afin de comprendre la terminologie de base impliquée ici.

Chemin

C'est un parcours de branches d'un nœud à n'importe quel autre nœud dans le sens des flèches de branche. Il ne doit traverser aucun nœud plus d'une fois.

Examples - $ y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_4 \ rightarrow y_5 $ et $ y_5 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_2 $

Chemin avant

Le chemin qui existe entre le nœud d'entrée et le nœud de sortie est appelé forward path.

Examples - $ y_1 \ rightarrow y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_4 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_6 $ et $ y_1 \ rightarrow y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_6 $.

Gain de la voie avant

Il est obtenu en calculant le produit de tous les gains de branche du chemin aller.

Examples - $ abcde $ est le gain de chemin avant de $ y_1 \ rightarrow y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_4 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_6 $ et abge est le gain de chemin avant de $ y_1 \ rightarrow y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_6 $.

Boucle

Le chemin qui commence à partir d'un nœud et se termine au même nœud est appelé loop. C'est donc un chemin fermé.

Examples - $ y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_2 $ et $ y_3 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_3 $.

Gain de boucle

Il est obtenu en calculant le produit de tous les gains de branche d'une boucle.

Examples - $ b_j $ est le gain de boucle de $ y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_2 $ et $ g_h $ est le gain de boucle de $ y_3 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_3 $.

Boucles sans contact

Ce sont les boucles, qui ne devraient avoir aucun nœud commun.

Examples - Les boucles, $ y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_2 $ et $ y_4 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_4 $ ne se touchent pas.

Calcul de la fonction de transfert à l'aide de la formule de gain de Mason

Considérons le même graphe de flux de signal pour trouver la fonction de transfert.

• Nombre de trajets aller, N = 2.

• Le premier chemin d'accès est - $ y_1 \ rightarrow y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_4 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_6 $.

• Gain du premier chemin avant, $ p_1 = abcde $.

• Le deuxième chemin avant est - $ y_1 \ rightarrow y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_6 $.

• Gain du deuxième chemin avant, $ p_2 = abge $.

• Nombre de boucles individuelles, L = 5.

• Les boucles sont - $ y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_2 $, $ y_3 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_3 $, $ y_3 \ rightarrow y_4 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_3 $, $ y_4 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_4 $ et $ y_5 \ rightarrow y_5 $.

• Les gains de boucle sont - $ l_1 = bj $, $ l_2 = gh $, $ l_3 = cdh $, $ l_4 = di $ et $ l_5 = f $.

• Nombre de deux boucles sans contact = 2.

• La première paire de boucles sans contact est - $ y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_2 $, $ y_4 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_4 $.

• Gain du produit de la première paire de boucles non touchantes, $ l_1l_4 = bjdi $

• La deuxième paire de boucles sans contact est - $ y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_2 $, $ y_5 \ rightarrow y_5 $.

• Le produit de gain de la deuxième paire de boucles non touchantes est - $ l_1l_5 = bjf $

Un nombre plus élevé de (plus de deux) boucles sans contact n'est pas présent dans ce graphique de flux de signaux.

Nous savons,

$ \ Delta = 1- (somme \: of \: all \: individual \: loop \: gains) $

$ + (somme \: of \: gain \: products \: of \: all \: possible \: two \: nontouching \: loops) $

$$ - (somme \: of \: gain \: products \: of \: all \: possible \: three \: nontouching \: loops) + ... $$

Remplacez les valeurs de l'équation ci-dessus,

$ \ Delta = 1- (bj + gh + cdh + di + f) + (bjdi + bjf) - (0) $

$ \ Flèche droite \ Delta = 1- (bj + gh + cdh + di + f) + bjdi + bjf $

Il n'y a pas de boucle qui ne touche pas le premier chemin aller.

Donc, $ \ Delta_1 = 1 $.

De même, $ \ Delta_2 = 1 $. Depuis, pas de boucle qui ne touche pas le deuxième chemin aller.

Substitut, N = 2 dans la formule de gain de Mason

$$ T = \ frac {C (s)} {R (s)} = \ frac {\ Sigma ^ 2 _ {i = 1} P_i \ Delta _i} {\ Delta} $$

$$ T = \ frac {C (s)} {R (s)} = \ frac {P_1 \ Delta_1 + P_2 \ Delta_2} {\ Delta} $$

Remplacez toutes les valeurs nécessaires dans l'équation ci-dessus.

$$ T = \ frac {C (s)} {R (s)} = \ frac {(abcde) 1+ (abge) 1} {1- (bj + gh + cdh + di + f) + bjdi + bjf } $$

$$ \ Rightarrow T = \ frac {C (s)} {R (s)} = \ frac {(abcde) + (abge)} {1- (bj + gh + cdh + di + f) + bjdi + bjf } $$

Par conséquent, la fonction de transfert est -

$$ T = \ frac {C (s)} {R (s)} = \ frac {(abcde) + (abge)} {1- (bj + gh + cdh + di + f) + bjdi + bjf} $ $