Systèmes de contrôle - Modèle d'espace d'état
le state space model du système LTI (Linear Time-Invariant) peut être représenté comme suit:
$$ \ dot {X} = AX + BU $$
$$ Y = CX + DU $$
Les première et deuxième équations sont respectivement appelées équation d'état et équation de sortie.
Où,
X et $ \ dot {X} $ sont respectivement le vecteur d'état et le vecteur d'état différentiel.
U et Y sont respectivement le vecteur d'entrée et le vecteur de sortie.
A est la matrice du système.
B et C sont les matrices d'entrée et de sortie.
D est la matrice d'avance.
Concepts de base du modèle d'espace d'état
La terminologie de base suivante impliquée dans ce chapitre.
Etat
Il s'agit d'un groupe de variables, qui résume l'historique du système afin de prédire les valeurs futures (sorties).
État variable
Le nombre de variables d'état requises est égal au nombre d'éléments de stockage présents dans le système.
Examples - courant traversant l'inductance, tension aux bornes du condensateur
Vecteur d'état
C'est un vecteur qui contient les variables d'état en tant qu'éléments.
Dans les chapitres précédents, nous avons discuté de deux modèles mathématiques des systèmes de contrôle. Ce sont le modèle d'équation différentielle et le modèle de fonction de transfert. Le modèle d'espace d'états peut être obtenu à partir de n'importe lequel de ces deux modèles mathématiques. Parlons maintenant de ces deux méthodes une par une.
Modèle d'espace d'état à partir d'une équation différentielle
Considérez la série suivante du circuit RLC. Il a une tension d'entrée, $ v_i (t) $ et le courant qui traverse le circuit est $ i (t) $.
Il y a deux éléments de stockage (inductance et condensateur) dans ce circuit. Ainsi, le nombre de variables d'état est égal à deux et ces variables d'état sont le courant traversant l'inductance, $ i (t) $ et la tension aux bornes du condensateur, $ v_c (t) $.
À partir du circuit, la tension de sortie, $ v_0 (t) $ est égale à la tension aux bornes du condensateur, $ v_c (t) $.
$$ v_0 (t) = v_c (t) $$
Appliquez KVL autour de la boucle.
$$ v_i (t) = Ri (t) + L \ frac {\ text {d} i (t)} {\ text {d} t} + v_c (t) $$
$$ \ Rightarrow \ frac {\ text {d} i (t)} {\ text {d} t} = - \ frac {Ri (t)} {L} - \ frac {v_c (t)} {L} + \ frac {v_i (t)} {L} $$
La tension aux bornes du condensateur est -
$$ v_c (t) = \ frac {1} {C} \ int i (t) dt $$
Différenciez l'équation ci-dessus par rapport au temps.
$$ \ frac {\ text {d} v_c (t)} {\ text {d} t} = \ frac {i (t)} {C} $$
Vecteur d'état, $ X = \ begin {bmatrix} i (t) \\ v_c (t) \ end {bmatrix} $
Vecteur d'état différentiel, $ \ dot {X} = \ begin {bmatrix} \ frac {\ text {d} i (t)} {\ text {d} t} \\\ frac {\ text {d} v_c (t )} {\ text {d} t} \ end {bmatrix} $
Nous pouvons organiser les équations différentielles et l'équation de sortie dans la forme standard du modèle d'espace d'état comme,
$$ \ dot {X} = \ begin {bmatrix} \ frac {\ text {d} i (t)} {\ text {d} t} \\\ frac {\ text {d} v_c (t)} { \ text {d} t} \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} - \ frac {R} {L} & - \ frac {1} {L} \\\ frac {1} {C} & 0 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} i (t) \\ v_c (t) \ end {bmatrix} + \ begin {bmatrix} \ frac {1} {L} \\ 0 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix } v_i (t) \ end {bmatrix} $$
$$ Y = \ begin {bmatrix} 0 & 1 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} i (t) \\ v_c (t) \ end {bmatrix} $$
Où,
$$ A = \ begin {bmatrix} - \ frac {R} {L} & - \ frac {1} {L} \\\ frac {1} {C} & 0 \ end {bmatrix}, \: B = \ begin {bmatrix} \ frac {1} {L} \\ 0 \ end {bmatrix}, \: C = \ begin {bmatrix} 0 & 1 \ end {bmatrix} \: et \: D = \ begin {bmatrix } 0 \ end {bmatrix} $$
Modèle d'espace d'état de la fonction de transfert
Considérez les deux types de fonctions de transfert en fonction du type de termes présents dans le numérateur.
- Fonction de transfert ayant un terme constant dans le numérateur.
- Fonction de transfert ayant une fonction polynomiale de «s» dans Numerator.
Fonction de transfert ayant un terme constant dans le numérateur
Considérez la fonction de transfert suivante d'un système
$$ \ frac {Y (s)} {U (s)} = \ frac {b_0} {s ^ n + a_ {n-1} s ^ {n-1} + ... + a_1s + a_0} $ $
Réorganisez, l'équation ci-dessus comme
$$ (s ^ n + a_ {n-1} s ^ {n-1} + ... + a_0) Y (s) = b_0 U (s) $$
Appliquez la transformée de Laplace inverse des deux côtés.
$$ \ frac {\ text {d} ^ ny (t)} {\ text {d} t ^ n} + a_ {n-1} \ frac {\ text {d} ^ {n-1} y (t )} {\ text {d} t ^ {n-1}} + ... + a_1 \ frac {\ text {d} y (t)} {\ text {d} t} + a_0y (t) = b_0 u (t) $$
Laisser
$$ y (t) = x_1 $$
$$ \ frac {\ text {d} y (t)} {\ text {d} t} = x_2 = \ dot {x} _1 $$
$$ \ frac {\ text {d} ^ 2y (t)} {\ text {d} t ^ 2} = x_3 = \ dot {x} _2 $$
$$. $$
$$. $$
$$. $$
$$ \ frac {\ text {d} ^ {n-1} y (t)} {\ text {d} t ^ {n-1}} = x_n = \ dot {x} _ {n-1} $ $
$$ \ frac {\ text {d} ^ ny (t)} {\ text {d} t ^ n} = \ dot {x} _n $$
et $ u (t) = u $
Ensuite,
$$ \ dot {x} _n + a_ {n-1} x_n + ... + a_1x_2 + a_0x_1 = b_0 u $$
À partir de l'équation ci-dessus, nous pouvons écrire l'équation d'état suivante.
$$ \ dot {x} _n = -a_0x_1-a_1x_2 -...- a_ {n-1} x_n + b_0 u $$
L'équation de sortie est -
$$ y (t) = y = x_1 $$
Le modèle d'espace d'états est -
$ \ dot {X} = \ begin {bmatrix} \ dot {x} _1 \\\ dot {x} _2 \\\ vdots \\\ dot {x} _ {n-1} \\\ dot {x} _n \ end {bmatrix} $
$$ = \ begin {bmatrix} 0 & 1 & 0 & \ dotso & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \ dotso & 0 & 0 \\\ vdots & \ vdots & \ vdots & \ dotso & \ vdots & \ vdots \\ 0 & 0 & 0 & \ dotso & 0 & 1 \\ - a_0 & -a_1 & -a_2 & \ dotso & -a_ {n-2} & -a_ {n-1} \ end {bmatrix } \ begin {bmatrix} x_1 \\ x_2 \\\ vdots \\ x_ {n-1} \\ x_n \ end {bmatrix} + \ begin {bmatrix} 0 \\ 0 \\\ vdots \\ 0 \\ b_0 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} u \ end {bmatrix} $$
$$ Y = \ begin {bmatrix} 1 & 0 & \ dotso & 0 & 0 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} x_1 \\ x_2 \\\ vdots \\ x_ {n-1} \\ x_n \ end {bmatrix} $$
Ici, $ D = \ left [0 \ right]. $
Exemple
Trouvez le modèle d'espace d'états pour le système ayant une fonction de transfert.
$$ \ frac {Y (s)} {U (s)} = \ frac {1} {s ^ 2 + s + 1} $$
Réorganisez, l'équation ci-dessus comme,
$$ (s ^ 2 + s + 1) Y (s) = U (s) $$
Appliquez la transformée de Laplace inverse des deux côtés.
$$ \ frac {\ text {d} ^ 2y (t)} {\ text {d} t ^ 2} + \ frac {\ text {d} y (t)} {\ text {d} t} + y (t) = u (t) $$
Laisser
$$ y (t) = x_1 $$
$$ \ frac {\ text {d} y (t)} {\ text {d} t} = x_2 = \ dot {x} _1 $$
et $ u (t) = u $
Ensuite, l'équation d'état est
$$ \ dot {x} _2 = -x_1-x_2 + u $$
L'équation de sortie est
$$ y (t) = y = x_1 $$
Le modèle d'espace d'états est
$$ \ dot {X} = \ begin {bmatrix} \ dot {x} _1 \\\ dot {x} _2 \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} 0 & 1 \\ - 1 & -1 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} x_1 \\ x_2 \ end {bmatrix} + \ begin {bmatrix} 0 \\ 1 \ end {bmatrix} \ left [u \ right] $$
$$ Y = \ begin {bmatrix} 1 & 0 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} x_1 \\ x_2 \ end {bmatrix} $$
Fonction de transfert ayant une fonction polynomiale de 's' dans le numérateur
Considérez la fonction de transfert suivante d'un système
$$ \ frac {Y (s)} {U (s)} = \ frac {b_n s ^ n + b_ {n-1} s ^ {n-1} + ... + b_1s + b_0} {s ^ n + a_ {n-1} s ^ {n-1} + ... + a_1 s + a_0} $$
$$ \ Rightarrow \ frac {Y (s)} {U (s)} = \ left (\ frac {1} {s ^ n + a_ {n-1} s ^ {n-1} + ... + a_1 s + a_0} \ droite) (b_n s ^ n + b_ {n-1} s ^ {n-1} + ... + b_1s + b_0) $$
L'équation ci-dessus se présente sous la forme d'un produit de fonctions de transfert de deux blocs, qui sont en cascade.
$$ \ frac {Y (s)} {U (s)} = \ left (\ frac {V (s)} {U (s)} \ right) \ left (\ frac {Y (s)} {V (s)} \ droite) $$
Ici,
$$ \ frac {V (s)} {U (s)} = \ frac {1} {s ^ n + a_ {n-1} s ^ {n-1} + ... + a_1 s + a_0} $$
Réorganisez, l'équation ci-dessus comme
$$ (s ^ n + a_ {n-1} s ^ {n-1} + ... + a_0) V (s) = U (s) $$
Appliquez la transformée de Laplace inverse des deux côtés.
$$ \ frac {\ text {d} ^ nv (t)} {\ text {d} t ^ n} + a_ {n-1} \ frac {\ text {d} ^ {n-1} v (t )} {\ text {d} t ^ {n-1}} + ... + a_1 \ frac {\ text {d} v (t)} {\ text {d} t} + a_0v (t) = u (t) $$
Laisser
$$ v (t) = x_1 $$
$$ \ frac {\ text {d} v ((t)} {\ text {d} t} = x_2 = \ dot {x} _1 $$
$$ \ frac {\ text {d} ^ 2v (t)} {\ text {d} t ^ 2} = x_3 = \ dot {x} _2 $$
$$. $$
$$. $$
$$. $$
$$ \ frac {\ text {d} ^ {n-1} v (t)} {\ text {d} t ^ {n-1}} = x_n = \ dot {x} _ {n-1} $ $
$$ \ frac {\ text {d} ^ nv (t)} {\ text {d} t ^ n} = \ dot {x} _n $$
et $ u (t) = u $
Ensuite, l'équation d'état est
$$ \ dot {x} _n = -a_0x_1-a_1x_2 -...- a_ {n-1} x_n + u $$
Considérer,
$$ \ frac {Y (s)} {V (s)} = b_ns ^ n + b_ {n-1} s ^ {n-1} + ... + b_1s + b_0 $$
Réorganisez, l'équation ci-dessus comme
$$ Y (s) = (b_ns ^ n + b_ {n-1} s ^ {n-1} + ... + b_1s + b_0) V (s) $$
Appliquez la transformée de Laplace inverse des deux côtés.
$$ y (t) = b_n \ frac {\ text {d} ^ nv (t)} {\ text {d} t ^ n} + b_ {n-1} \ frac {\ text {d} ^ {n -1} v (t)} {\ text {d} t ^ {n-1}} + ... + b_1 \ frac {\ text {d} v (t)} {\ text {d} t} + b_0v (t) $$
En remplaçant les variables d'état et $ y (t) = y $ dans l'équation ci-dessus, obtiendra l'équation de sortie comme,
$$ y = b_n \ dot {x} _n + b_ {n-1} x_n + ... + b_1x_2 + b_0x_1 $$
Remplacez la valeur $ \ dot {x} _n $ dans l'équation ci-dessus.
$$ y = b_n (-a_0x_1-a_1x_2 -...- a_ {n-1} x_n + u) + b_ {n-1} x_n + ... + b_1x_2 + b_0x_1 $$
$$ y = (b_0-b_na_0) x_1 + (b_1-b_na_1) x_2 + ... + (b_ {n-1} -b_na_ {n-1}) x_n + b_n u $$
Le modèle d'espace d'états est
$ \ dot {X} = \ begin {bmatrix} \ dot {x} _1 \\\ dot {x} _2 \\\ vdots \\\ dot {x} _ {n-1} \\\ dot {x} _n \ end {bmatrix} $
$$ = \ begin {bmatrix} 0 & 1 & 0 & \ dotso & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \ dotso & 0 & 0 \\\ vdots & \ vdots & \ vdots & \ dotso & \ vdots & \ vdots \\ 0 & 0 & 0 & \ dotso & 0 & 1 \\ - a_0 & -a_1 & -a_2 & \ dotso & -a_ {n-2} & -a_ {n-1} \ end {bmatrix } \ begin {bmatrix} x_1 \\ x_2 \\\ vdots \\ x_ {n-1} \\ x_n \ end {bmatrix} + \ begin {bmatrix} 0 \\ 0 \\\ vdots \\ 0 \\ b_0 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} u \ end {bmatrix} $$
$$ Y = [b_0-b_na_0 \ quad b_1-b_na_1 \ quad ... \ quad b_ {n-2} -b_na_ {n-2} \ quad b_ {n-1} -b_na_ {n-1}] \ begin {bmatrix} x_1 \\ x_2 \\\ vdots \\ x_ {n-1} \\ x_n \ end {bmatrix} $$
Si $ b_n = 0 $, alors,
$$ Y = [b_0 \ quad b_1 \ quad ... \ quad b_ {n-2} \ quad b_ {n-1}] \ begin {bmatrix} x_1 \\ x_2 \\\ vdots \\ x_ {n- 1} \\ x_n \ end {bmatrix} $$