Spécifications du domaine temporel

Dans ce chapitre, examinons les spécifications du domaine temporel du système du second ordre. La réponse échelonnée du système de second ordre pour le boîtier sous-amorti est illustrée dans la figure suivante.

Toutes les spécifications du domaine temporel sont représentées sur cette figure. La réponse jusqu'au temps de stabilisation est appelée réponse transitoire et la réponse après le temps de stabilisation est appelée réponse en régime permanent.

Temporisation

C'est le temps nécessaire pour que la réponse atteigne half of its final valueà partir de l'instant zéro. Il est noté $ t_d $.

Considérons la réponse échelonnée du système du second ordre pour t ≥ 0, lorsque «δ» est compris entre zéro et un.

$$ c (t) = 1- \ gauche (\ frac {e ^ {- \ delta \ omega_nt}} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ droite) \ sin (\ omega_dt + \ theta) $$

La valeur finale de la réponse échelonnée est un.

Par conséquent, à $ t = t_d $, la valeur de la réponse échelonnée sera de 0,5. Remplacez ces valeurs dans l'équation ci-dessus.

$$ c (t_d) = 0.5 = 1- \ gauche (\ frac {e ^ {- \ delta \ omega_nt_d}} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ right) \ sin (\ omega_dt_d + \ theta) $$

$$ \ Rightarrow \ left (\ frac {e ^ {- \ delta \ omega_nt_d}} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ right) \ sin (\ omega_dt_d + \ theta) = 0,5 $$

En utilisant l'approximation linéaire, vous obtiendrez le delay time t_d comme

$$ t_d = \ frac {1 + 0,7 \ delta} {\ omega_n} $$

Temps de montée

C'est le temps nécessaire pour que la réponse monte de 0% to 100% of its final value. Ceci est applicable pour leunder-damped systems. Pour les systèmes suramortis, considérez la durée de 10% à 90% de la valeur finale. Le temps de montée est indiqué part_r.

À t = t ₁ = 0, c (t) = 0.

Nous savons que la valeur finale de la réponse échelonnée est un.

Par conséquent, à $ t = t_2 $, la valeur de la réponse échelonnée est un. Remplacez ces valeurs dans l'équation suivante.

$$ c (t) = 1- \ gauche (\ frac {e ^ {- \ delta \ omega_nt}} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ droite) \ sin (\ omega_dt + \ theta) $$

$$ c (t_2) = 1 = 1- \ gauche (\ frac {e ^ {- \ delta \ omega_nt_2}} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ right) \ sin (\ omega_dt_2 + \ theta) $$

$$ \ Rightarrow \ left (\ frac {e ^ {- \ delta \ omega_nt_2}} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ right) \ sin (\ omega_dt_2 + \ theta) = 0 $$

$$ \ Rightarrow \ sin (\ omega_dt_2 + \ theta) = 0 $$

$$ \ Rightarrow \ omega_dt_2 + \ theta = \ pi $$

$$ \ Rightarrow t_2 = \ frac {\ pi- \ theta} {\ omega_d} $$

Remplacez les valeurs t ₁ et t ₂ dans l'équation suivante derise time,

$$ t_r = t_2-t_1 $$

$$ \ donc \: t_r = \ frac {\ pi- \ theta} {\ omega_d} $$

À partir de l'équation ci-dessus, nous pouvons conclure que le temps de montée $ t_r $ et la fréquence amortie $ \ omega_d $ sont inversement proportionnels l'un à l'autre.

Heure de pointe

C'est le temps nécessaire pour que la réponse atteigne peak valuepour la première fois. Il est noté $ t_p $. À $ t = t_p $, la première dérivée de la réponse est zéro.

Nous savons que la réponse échelonnée du système de second ordre pour le cas sous-amorti est

$$ c (t) = 1- \ gauche (\ frac {e ^ {- \ delta \ omega_nt}} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ droite) \ sin (\ omega_dt + \ theta) $$

Différenciez $ c (t) $ par rapport à 't'.

$$ \ frac {\ text {d} c (t)} {\ text {d} t} = - \ left (\ frac {e ^ {- \ delta \ omega_nt}} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ right) \ omega_d \ cos (\ omega_dt + \ theta) - \ left (\ frac {- \ delta \ omega_ne ^ {- \ delta \ omega_nt}} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ droite) \ sin (\ omega_dt + \ theta) $$

Remplacez, $ t = t_p $ et $ \ frac {\ text {d} c (t)} {\ text {d} t} = 0 $ dans l'équation ci-dessus.

$$ 0 = - \ gauche (\ frac {e ^ {- \ delta \ omega_nt_p}} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ droite) \ gauche [\ omega_d \ cos (\ omega_dt_p + \ theta) - \ delta \ omega_n \ sin (\ omega_dt_p + \ theta) \ right] $$

$$ \ Rightarrow \ omega_n \ sqrt {1- \ delta ^ 2} \ cos (\ omega_dt_p + \ theta) - \ delta \ omega_n \ sin (\ omega_dt_p + \ theta) = 0 $$

$$ \ Rightarrow \ sqrt {1- \ delta ^ 2} \ cos (\ omega_dt_p + \ theta) - \ delta \ sin (\ omega_dt_p + \ theta) = 0 $$

$$ \ Rightarrow \ sin (\ theta) \ cos (\ omega_dt_p + \ theta) - \ cos (\ theta) \ sin (\ omega_dt_p + \ theta) = 0 $$

$$ \ Rightarrow \ sin (\ theta- \ omega_dt_p- \ theta) = 0 $$

$$ \ Rightarrow sin (- \ omega_dt_p) = 0 \ Rightarrow - \ sin (\ omega_dt_p) = 0 \ Rightarrow sin (\ omega_dt_p) = 0 $$

$$ \ Rightarrow \ omega_dt_p = \ pi $$

$$ \ Rightarrow t_p = \ frac {\ pi} {\ omega_d} $$

À partir de l'équation ci-dessus, nous pouvons conclure que le temps de pointe $ t_p $ et la fréquence amortie $ \ omega_d $ sont inversement proportionnels l'un à l'autre.

Dépassement maximal

Dépassement maximal M_pest défini comme l'écart de la réponse à l'heure de pointe par rapport à la valeur finale de la réponse. Il est également appelé lemaximum overshoot.

Mathématiquement, nous pouvons l'écrire comme

$$ M_p = c (t_p) -c (\ infty) $$

Où,

c (t _p ) est la valeur de crête de la réponse.

c (∞) est la valeur finale (état stationnaire) de la réponse.

À $ t = t_p $, la réponse c (t) est -

$$ c (t_p) = 1- \ gauche (\ frac {e ^ {- \ delta \ omega_nt_p}} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ right) \ sin (\ omega_dt_p + \ theta) $$

Remplacez, $ t_p = \ frac {\ pi} {\ omega_d} $ dans la partie droite de l'équation ci-dessus.

$$ c (t_P) = 1- \ left (\ frac {e ^ {- \ delta \ omega_n \ left (\ frac {\ pi} {\ omega_d} \ right)}} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ right) \ sin \ left (\ omega_d \ left (\ frac {\ pi} {\ omega_d} \ right) + \ theta \ right) $$

$$ \ Rightarrow c (t_p) = 1- \ left (\ frac {e ^ {- \ left (\ frac {\ delta \ pi} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ right)}} { \ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ right) (- \ sin (\ theta)) $$

Nous savons que

$$ \ sin (\ theta) = \ sqrt {1- \ delta ^ 2} $$

Donc, nous obtiendrons $ c (t_p) $ comme

$$ c (t_p) = 1 + e ^ {- \ left (\ frac {\ delta \ pi} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ right)} $$

Remplacez les valeurs de $ c (t_p) $ et $ c (\ infty) $ dans l'équation de dépassement maximal.

$$ M_p = 1 + e ^ {- \ left (\ frac {\ delta \ pi} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ right)} - ​​1 $$

$$ \ Rightarrow M_p = e ^ {- \ left (\ frac {\ delta \ pi} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ right)} $$

Percentage of peak overshoot % $ M_p $ peut être calculé en utilisant cette formule.

$$ \% M_p = \ frac {M_p} {c (\ infty)} \ fois 100 \% $$

En remplaçant les valeurs de $ M_p $ et $ c (\ infty) $ dans la formule ci-dessus, nous obtiendrons le Pourcentage du dépassement du pic $ \% M_p $ comme

$$ \% M_p = \ left (e ^ {- \ left (\ frac {\ delta \ pi} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ right)} \ right) \ times 100 \% $$

À partir de l'équation ci-dessus, nous pouvons conclure que le pourcentage de dépassement maximal $ \% M_p $ diminuera si le rapport d'amortissement $ \ delta $ augmente.

Temps de prise

C'est le temps nécessaire pour que la réponse atteigne l'état d'équilibre et reste dans les bandes de tolérance spécifiées autour de la valeur finale. En général, les bandes de tolérance sont de 2% et 5%. Le temps de stabilisation est noté $ t_s $.

Le temps de stabilisation pour la bande de tolérance de 5% est de -

$$ t_s = \ frac {3} {\ delta \ omega_n} = 3 \ tau $$

Le temps de stabilisation pour la bande de tolérance de 2% est de -

$$ t_s = \ frac {4} {\ delta \ omega_n} = 4 \ tau $$

Où, $ \ tau $ est la constante de temps et est égal à $ \ frac {1} {\ delta \ omega_n} $.

• Le temps de stabilisation $ t_s $ et la constante de temps $ \ tau $ sont inversement proportionnels au rapport d'amortissement $ \ delta $.

• Le temps d'établissement $ t_s $ et la constante de temps $ \ tau $ sont indépendants du gain du système. Cela signifie que même le gain du système change, le temps de stabilisation $ t_s $ et la constante de temps $ \ tau $ ne changeront jamais.

Exemple

Trouvons maintenant les spécifications du domaine temporel d'un système de contrôle ayant la fonction de transfert en boucle fermée $ \ frac {4} {s ^ 2 + 2s + 4} $ lorsque le signal de pas unitaire est appliqué comme entrée à ce système de contrôle.

On sait que la forme standard de la fonction de transfert du système de contrôle en boucle fermée du second ordre comme

$$ \ frac {\ omega_n ^ 2} {s ^ 2 + 2 \ delta \ omega_ns + \ omega_n ^ 2} $$

En assimilant ces deux fonctions de transfert, nous obtiendrons la fréquence naturelle non amortie $ \ omega_n $ égale à 2 rad / s et le rapport d'amortissement $ \ delta $ égal à 0,5.

Nous connaissons la formule de la fréquence amortie $ \ omega_d $ comme

$$ \ omega_d = \ omega_n \ sqrt {1- \ delta ^ 2} $$

Remplacez les valeurs $ \ omega_n $ et $ \ delta $ dans la formule ci-dessus.

$$ \ Rightarrow \ omega_d = 2 \ sqrt {1- (0,5) ^ 2} $$

$$ \ Rightarrow \ omega_d = 1,732 \: rad / sec $$

Substitut, valeur $ \ delta $ dans la relation suivante

$$ \ theta = \ cos ^ {- 1} \ delta $$

$$ \ Rightarrow \ theta = \ cos ^ {- 1} (0.5) = \ frac {\ pi} {3} \: rad $$

Remplacez les valeurs nécessaires ci-dessus dans la formule de chaque spécification de domaine temporel et simplifiez afin d'obtenir les valeurs des spécifications de domaine temporel pour une fonction de transfert donnée.

Le tableau suivant montre les formules des spécifications du domaine temporel, la substitution des valeurs nécessaires et les valeurs finales.

Spécification du domaine temporel	Formule	Substitution de valeurs dans Formula	Valeur finale
Temporisation	$ t_d = \ frac {1 + 0,7 \ delta} {\ omega_n} $	$ t_d = \ frac {1 + 0,7 (0,5)} {2} $	$ t_d $ = 0,675 seconde
Temps de montée	$ t_r = \ frac {\ pi- \ theta} {\ omega_d} $	$ t_r = \ frac {\ pi - (\ frac {\ pi} {3})} {1.732} $	$ t_r $ = 1,207 seconde
Heure de pointe	$ t_p = \ frac {\ pi} {\ omega_d} $	$ t_p = \ frac {\ pi} {1.732} $	$ t_p $ = 1,813 seconde
% Dépassement maximal	$ \% M_p = \ left (e ^ {- \ left (\ frac {\ delta \ pi} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ right)} \ right) \ times 100 \% $	$ \% M_p = \ left (e ^ {- \ left (\ frac {0.5 \ pi} {\ sqrt {1- (0.5) ^ 2}} \ right)} \ right) \ times 100 \% $	$ \% \: M_p $ = 16,32%
Temps de stabilisation pour une bande de tolérance de 2%	$ t_s = \ frac {4} {\ delta \ omega_n} $	$ t_S = \ frac {4} {(0,5) (2)} $	$ t_s $ = 4 s