Statistiques - Modèle Black-Scholes

Le modèle Black Scholes est un modèle mathématique permettant de vérifier la variation de prix dans le temps d'instruments financiers tels que les actions qui peuvent être utilisés pour calculer le prix d'une option d'achat européenne. Ce modèle suppose que le prix des actifs fortement négociés suit un mouvement brownien géométrique ayant une dérive et une volatilité constantes. Dans le cas d'une option d'achat d'actions, le modèle Black Scholes intègre la variation de prix constante de l'action sous-jacente, la valeur temps de l'argent, le prix d'exercice de l'option et son délai d'expiration.

Le modèle Black Scholes a été développé en 1973 par Fisher Black, Robert Merton et Myron Scholes et est encore largement utilisé sur les marchés financiers euporiens. Il constitue l'un des meilleurs moyens de déterminer le juste prix des options.

Contributions

Le modèle Black Scholes nécessite cinq entrées.

  • Prix ​​d'exercice d'une option

  • Cours actuel de l'action

  • Délai d'expiration

  • Taux sans risque

  • Volatility

Hypothèses

Le modèle Black Scholes suppose les points suivants.

  • Les cours des actions suivent une distribution log-normale.

  • Les prix des actifs ne peuvent pas être négatifs.

  • Aucun coût de transaction ni taxe.

  • Le taux d'intérêt sans risque est constant pour toutes les échéances.

  • La vente à découvert de titres avec utilisation du produit est autorisée.

  • Aucune opportunité d'arbitrage sans risque présente.

Formule

$ {C = SN (d_1) - Ke ^ {- rT} Nd_2 \\ [7pt] \, P = Ke ^ {- rT} N (-d_2) - SN (-d_1) \\ [7pt] \, où \\ [7pt] \, d_1 = \ frac {1} {{\ sigma \ sqrt T}} [ln (\ frac {S} {K}) + (r + \ frac {\ sigma ^ 2} {2} T)] \\ [7pt] \, d_2 = d_1 - \ sigma \ sqrt T} $

Où -

  • $ {C} $ = valeur de l'option d'achat.

  • $ {P} $ = Valeur de l'option de vente.

  • $ {S} $ = cours de l'action.

  • $ {K} $ = Prix d'exercice.

  • $ {r} $ = Taux d'intérêt sans risque.

  • $ {T} $ = Temps jusqu'à maturité.

  • $ {\ sigma} $ = Volatilité annualisée.

Limites

Le modèle Black Scholes présente les limitations suivantes.

  • Applicable uniquement aux options européennes, les options américaines pouvant être exercées avant leur expiration.

  • Un dividende constant et des taux sans risque constants peuvent ne pas être relistes.

  • La volatilité peut fluctuer avec le niveau de l'offre et de la demande d'option, ce qui peut ne pas être vrai.