Statistiques - Théorème de Chebyshev

La fraction de tout ensemble de nombres se trouvant à l'intérieur de k écarts-types de ces nombres de la moyenne de ces nombres est au moins

$ {1- \ frac {1} {k ^ 2}} $

Où -

  • $ {k = \ frac {the \ within \ number} {the \ standard \ deviation}} $

et $ {k} $ doit être supérieur à 1

Exemple

Problem Statement:

Utilisez le théorème de Chebyshev pour trouver quel pourcentage des valeurs se situera entre 123 et 179 pour un ensemble de données avec une moyenne de 151 et un écart type de 14.

Solution:

  • Nous soustrayons 151-123 et obtenons 28, ce qui nous indique que 123 est 28 unités en dessous de la moyenne.

  • Nous soustrayons 179-151 et obtenons également 28, ce qui nous indique que 151 est 28 unités au-dessus de la moyenne.

  • Ces deux ensemble nous indiquent que les valeurs comprises entre 123 et 179 sont toutes à moins de 28 unités de la moyenne. Par conséquent, le «nombre intérieur» est 28.

  • On trouve donc le nombre d'écarts-types, k, que représente le «nombre compris», 28, en le divisant par l'écart-type:

$ {k = \ frac {the \ within \ number} {the \ standard \ deviation} = \ frac {28} {14} = 2} $

Nous savons maintenant que les valeurs comprises entre 123 et 179 sont toutes à moins de 28 unités de la moyenne, ce qui équivaut à k = 2 écarts-types de la moyenne. Maintenant, puisque k> 1, nous pouvons utiliser la formule de Chebyshev pour trouver la fraction des données qui sont dans k = 2 écarts-types de la moyenne. En substituant k = 2, nous avons:

$ {1- \ frac {1} {k ^ 2} = 1- \ frac {1} {2 ^ 2} = 1- \ frac {1} {4} = \ frac {3} {4}} $

Donc $ {\ frac {3} {4}} $ des données se situent entre 123 et 179. Et puisque $ {\ frac {3} {4} = 75} $% cela implique que 75% des valeurs de données sont comprises entre 123 et 179.