Statistiques - Distribution binomiale négative

La distribution binomiale négative est une distribution de probabilité du nombre d'occurrences de succès et d'échecs dans une séquence de pistes indépendantes avant qu'un nombre spécifique de succès ne se produise. Voici les points clés à noter à propos d'une expérience binomiale négative.

  • L'expérience doit être composée de x essais répétés.

  • Chaque piste a deux résultats possibles, l'un pour le succès, l'autre pour l'échec.

  • La probabilité de succès est la même à chaque essai.

  • La sortie d'un essai est indépendante de la sortie d'une autre piste.

  • L'expérience doit être menée jusqu'à ce que r succès soient observés, où r est mentionné à l'avance.

La probabilité de distribution binomiale négative peut être calculée en utilisant ce qui suit:

Formule

${ f(x; r, P) = ^{x-1}C_{r-1} \times P^r \times (1-P)^{x-r} }$

Où -

  • ${x}$ = Nombre total d'essais.

  • ${r}$ = Nombre d'occurrences de succès.

  • ${P}$ = Probabilité de succès à chaque occurrence.

  • ${1-P}$ = Probabilité d'échec à chaque occurrence.

  • ${f(x; r, P)}$ = Probabilité binomiale négative, la probabilité qu'une expérience binomiale négative d'un essai x aboutisse au rème succès sur le xe essai, lorsque la probabilité de succès de chaque essai est P.

  • ${^{n}C_{r}}$ = Combinaison de n éléments pris r à la fois.

Exemple

Robert est un joueur de football. Son taux de réussite à atteindre ses objectifs est de 70%. Quelle est la probabilité que Robert marque son troisième but à sa cinquième tentative?

Solution:

Ici la probabilité de succès, P est de 0,70. Nombre d'essais, x est 5 et le nombre de succès, r est 3. En utilisant la formule de distribution binomiale négative, calculons la probabilité d'atteindre le troisième objectif lors de la cinquième tentative.

${ f(x; r, P) = ^{x-1}C_{r-1} \times P^r \times (1-P)^{x-r} \\[7pt] \implies f(5; 3, 0.7) = ^4C_2 \times 0.7^3 \times 0.3^2 \\[7pt] \, = 6 \times 0.343 \times 0.09 \\[7pt] \, = 0.18522 }$

Ainsi, la probabilité d'atteindre le troisième but lors de la cinquième tentative est $ { 0.18522 }$.