Statistiques - Théorème de Bayes de probabilité

L'un des développements les plus significatifs dans le domaine des probabilités a été le développement de la théorie de la décision bayésienne qui s'est avérée être d'une immense aide pour prendre des décisions dans des conditions incertaines. Le théorème de Bayes a été développé par un mathématicien britannique, le révérend Thomas Bayes. La probabilité donnée sous le théorème de Bayes est également connue sous le nom de probabilité inverse, de probabilité postérieure ou de probabilité révisée. Ce théorème trouve la probabilité d'un événement en considérant les informations d'échantillon données; d'où le nom de probabilité postérieure. Le théorème de Bayes est basé sur la formule de la probabilité conditionnelle.

probabilité conditionnelle de l'événement $ {A_1} $ donné l'événement $ {B} $ est

$ {P (A_1 / B) = \ frac {P (A_1 \ et \ B)} {P (B)}} $

De même, la probabilité de l'événement $ {A_1} $ étant donné l'événement $ {B} $ est

$ {P (A_2 / B) = \ frac {P (A_2 \ et \ B)} {P (B)}} $

$ {P (B) = P (A_1 \ et \ B) + P (A_2 \ et \ B) \\ [7pt] P (B) = P (A_1) \ fois P (B / A_1) + P (A_2 ) \ fois P (BA_2)} $
$ {P (A_1 / B)} $ peut être réécrit comme
$ {P (A_1 / B) = \ frac {P (A_1) \ fois P (B / A_1)} {P (A_1)} \ fois P (B / A_1) + P (A_2) \ fois P (BA_2) } $

Par conséquent, la forme générale du théorème de Bayes est

$ {P (A_i / B) = \ frac {P (A_i) \ times P (B / A_i)} {\ sum_ {i = 1} ^ k P (A_i) \ times P (B / A_i)}} $

Où $ {A_1} $, $ {A_2} $ ... $ {A_i} $ ... $ {A_n} $ sont un ensemble de n événements mutuellement exclusifs et exhaustifs.